函数的定义域详解：定义、确定原则与典型例题解析

　　函数的定义域是高中数学的基础知识点，是高考常考点之一，掌握定义域的确定方法与解题逻辑，对后续函数单调性、值域等知识点的学习至关重要。以下将详细梳理函数定义域的定义、确定原则，并结合典型例题解析，帮助大家精准掌握相关内容。

　　一、函数的定义域及原则

　　定义：设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应，那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f (x)，x∈A。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域。定义域是函数的核心要素之一，直接决定函数对应关系的有效性与取值范围的合理性。

　　确定函数定义域的原则(1) 当函数 y=f (x) 用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数 x 的集合，即表格中所有明确列出的自变量取值构成的集合。(2) 当函数 y=f (x) 用图象给出时，函数的定义域是指图象在 x 轴上的投影所覆盖的实数 x 的集合，投影的起点与终点对应的 x 值即为定义域的边界(含边界点需结合图象是否为实心点判断)。(3) 当函数 y=f (x) 用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数 x 的集合，常见约束条件包括：分母不为 0、偶次根式被开方数非负、零次幂底数不为 0 等。(4) 当函数 y=f (x) 由实际问题给出时，函数的定义域受问题的实际意义限制，需结合具体场景分析(如长度、时间、数量等需为非负数)。

　　提醒：函数的定义域是非空数集，不存在无定义域的函数;若未特别说明，函数定义域默认指解析式有意义的实数集合。

　　二、函数的定义域相关例题

　　求下列函数的定义域(1) y=3x-5;(2) f (x)=2/(x-3);(3) y=√(2-x) + 1/(x-4);(4) y=5/[2 - √(3-x)]。

　　答案：

　　(1) {x∣x∈R}(2) {x∣x≠3}(3) {x∣x≤2 且 x≠4}(4) {x∣x≤3 且 x≠-1}

　　解析：

　　(1) 函数 y=3x-5 为一次函数，一次函数的解析式对所有实数 x 均有意义，因此函数的定义域为 {x∣x∈R}。

　　(2) 该函数为分式形式，根据解析式有意义的原则，分母不能为 0.即 x-3≠0.解得 x≠3.故函数的定义域为 {x∣x≠3}。

　　(3) 函数包含偶次根式与分式，需同时满足两个约束条件：{2 - x ≥ 0(偶次根式被开方数非负){x - 4 ≠ 0(分式分母不为 0)解得 x≤2 且 x≠4.故所求定义域为 {x∣x≤2 且 x≠4}。

　　(4) 函数包含偶次根式与复杂分式，需满足双重约束：{3 - x ≥ 0(偶次根式被开方数非负){2 - √(3 - x) ≠ 0(分式分母不为 0)由 3 - x ≥ 0 得 x≤3;由 2 - √(3 - x) ≠ 0 得√(3 - x)≠2.两边平方得 3 - x≠4.解得 x≠-1.综上，函数的定义域为 {x∣x≤3 且 x≠-1}。