勾股定理详解：证明方法、变式应用及勾股数典型例题

　　一、勾股定理的证明方法和应用

　　1、勾股定理

　　(1)文字语言

　　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这是平面几何中核心的边长关系定理，广泛应用于直角三角形的边长计算与几何证明。

　　(2)符号语言

　　如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a² + b² = c²。

　　(3)变式及应用

　　设直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，则：

　　a² = c²−b²，b² = c²−a²(适用于已知斜边和一条直角边，求另一条直角边的场景);

　　c = √(a²+b²)(适用于已知两条直角边，快速求解斜边长度);

　　a = √(c²−b²)，b = √(c²−a²)(与直角边求解场景对应，代入数值即可直接计算)。

　　2、勾股定理的证明方法

　　勾股定理的证明方法多达数百种，涵盖几何图形构造、面积推导、相似三角形等多个思路，下面重点介绍一种经典的相似三角形证明法：

　　在 Rt△ABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD⊥AB，垂足是 D。在△ADC 和△ACB 中，∵∠ADC=∠ACB=90°，∠CAD=∠BAC，∴△ADC∽△ACB。由此可得 AD∶AC=AC∶AB，即 AC²=AD⋅AB。同理可证，△CDB∽△ACB，从而有 BC²=BD⋅AB。∴AC²+BC²=(AD+DB)⋅AB=AB²，即 a²+b²=c²。

　　除此外，割补法(通过拼接图形保持面积不变推导)、总统证法等也都是常用的证明方式，核心思路均围绕直角三角形的边长与面积关系展开。

　　二、勾股定理的证明方法的相关例题

　　下列各组数中，满足勾股定理的是___

　　A.3²，4²，5²B.√3.√4.√5C.1/3.1/4.1/5D.9.40.41

　　答案：D

　　解析：解：A.3²=9.4²=16.5²=25.计算得 9²+16²=81+256=337.而 25²=625.337≠625.即 3²，4²，5² 不满足勾股定理，故本选项不符合题意;B.(√3)²=3.(√4)²=4.(√5)²=5.3+4=7≠5.即√3.√4.√5 不满足勾股定理，故本选项不符合题意;C.(1/3)²=1/9.(1/4)²=1/16.(1/5)²=1/25.1/9+1/16=25/144≈0.1736.1/25=0.04.两者不等，即 1/3.1/4.1/5 不满足勾股定理，故本选项不符合题意;D.9²=81.40²=1600.81+1600=1681.而 41²=1681.等式成立，即 9.40.41 满足勾股定理，故本选项符合题意。故选 D。