勾股定理的逆定理和应用

　　一、勾股定理的逆定理和应用

　　1、勾股定理

　　(1)文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是直角三角形的核心性质，也是几何计算中常用的基础定理。

　　(2)符号语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a² + b² = c²。

　　(3)变式及应用：设直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，则a² = c² − b²，b² = c² − a²，c = √(a² + b²)，a = √(c² − b²)，b = √(c² − a²)。这些变式常用于实际问题中边长的计算，如测量距离、建筑施工中的尺寸核算等场景。

　　2、勾股定理的应用

　　(1)已知直角三角形的两边，求第三边，是几何计算题中最直接的应用场景。

　　(2)表示长度为无理数的线段，例如√2、√5 等，可通过构造直角三角形的边长来表示。

　　(3)在数轴上作出表示无理数的点，借助直角三角形的边长关系，能精准定位无理数在数轴上的位置。

　　注：勾股定理只适用于直角三角形，因此遇到非直角三角形的边长计算时，常通过作辅助线 —— 高，来构造直角三角形再应用定理。

　　3、勾股定理的逆定理

　　如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形，且最长边 c 对应的角为直角。

　　能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。若 a，b，c 是一组勾股数，则 ak，bk，ck(k 是正整数)也是一组勾股数。常见勾股数有 3、4、5;6、8、10;5、12、13 等，记忆常用勾股数可快速判定直角三角形。

　　4、勾股定理的逆定理的应用

　　运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：(1)先确定三角形的最长边，计算出最长边的平方;(2)分别计算另外两条较短边的平方和;(3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边对应的角为直角。

　　二、勾股定理的逆定理的相关例题

　　以下各组线段为边长，能构成直角三角形的是( )A.5.6.7B.7.24.25C.8.9.10D.9.11.13

　　答案：B

　　解析：根据勾股定理的逆定理，需验证最长边的平方是否等于另外两边的平方和。A 选项中 7 为最长边，5²+6²=25+36=61≠49=7²;B 选项中 25 为最长边，7²+24²=49+576=625=25²;C 选项中 10 为最长边，8²+9²=64+81=145≠100=10²;D 选项中 13 为最长边，9²+11²=81+121=202≠169=13²。因此只有 B 选项能构成直角三角形。