勾股定理：经典证明、变式及实战应用

　　一、勾股定理的证明方法和应用

　　1、勾股定理

　　(1)文字语言

　　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是勾股定理的核心内容，是平面几何中重要的基本定理之一。

　　(2)符号语言

　　如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a² + b² = c²。

　　(3)变式及应用

　　设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则根据核心公式可推导得出：a² = c² − b²，b² = c² − a²，c = √(a² + b²)，a = √(c² − b²)，b = √(c² − a²)。这些变式常被用于已知直角三角形两边长求第三边长的计算。

　　2、勾股定理的证明方法

　　勾股定理的证明方法多达数百种，下面介绍其中一种经典证明方法：

　　在Rt△ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。在△ADC和△ACB中，∵∠ADC = ∠ACB = 90°，∠CAD = ∠BAC(公共角)，∴△ADC∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)。由相似三角形的性质可得AD∶AC = AC∶AB，即AC² = AD·AB。同理可证，△CDB∽△ACB，从而有BC² = BD·AB。∴AC² + BC² = (AD + DB)·AB = AB²，即a² + b² = c²，勾股定理得证。

　　二、勾股定理的相关例题

　　下列各组数中，能构成直角三角形三边长度的是( )

　　A.5.12.13 B.6.7.8 C.2.3.4 D.1.1.2

　　答案：A

　　解析：解：根据勾股定理的逆定理，若三边长度满足“两边平方和等于第三边平方”，则可构成直角三角形。A.5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²，满足勾股定理逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意;B.6² + 7² = 36 + 49 = 85.8² = 64.85 ≠ 64.不满足勾股定理逆定理，故本选项不符合题意;C.2² + 3² = 4 + 9 = 13.4² = 16.13 ≠ 16.不满足勾股定理逆定理，故本选项不符合题意;D.1² + 1² = 2.2² = 4.2 ≠ 4.不满足勾股定理逆定理，故本选项不符合题意。故选A。

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