向量加减法运算法则详解 线性代数向量全运算公式汇总

　　向量的加减法运算法则及全运算公式详解

　　向量的核心运算法则包含 6 类：1、向量的加法;2、向量的减法;3、数乘向量;4、向量的数量积;5、向量的向量积;6、三向量的混合积。向量是线性代数的核心概念，向量的运算也是线性代数中基础且重要的内容。

　　1 向量的加减法运算法则

　　一、向量的加法

　　向量的加法是将两个向量相加得到新向量的运算，满足交换律和结合律，核心遵循平行四边形法则和三角形法则。

　　两向量相加的定义：设向量a和向量b的起点重合于点O，终点分别为点P和点Q，则向量a与b的和向量c=a+b，其起点为O，终点为R(R为以OP、OQ为邻边的平行四边形的对角顶点)。

　　向量的加法运算律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

　　二、向量的减法

　　向量的减法是将一个向量减去另一个向量得到新向量的运算，可转化为加法运算，不满足交换律，仅满足结合律。

　　两向量相减的定义：设向量a和向量b的起点重合于点O，终点分别为点P和点Q，则向量a与b的差向量c=a−b=a+(−b)，其起点为O，终点为R(R为向量−b与a构成的平行四边形对角顶点)。

　　向量的减法运算律：反交换性：a−b=−(b−a)结合律：(a−b)+c=a−(b−c)

　　2 向量的运算的所有公式详解

　　1、向量的加法

　　核心遵循平行四边形法则(起点重合)和三角形法则(首尾相接)，核心公式：OB+OA=OC(平行四边形法则);若a=(x,y)，b=(x′,y′)，则a+b=(x+x′,y+y′);零向量性质：a+0=0+a=a。小例题：已知a=(2.3)，b=(1.2)，则a+b=(2+1.3+2)=(3.5)。运算律：交换律a+b=b+a;结合律(a+b)+c=a+(b+c)。

　　2、向量的减法

　　相反向量性质：若a、b互为相反向量，则a=−b，b=−a，a+b=0.0的反向量为0;核心法则：共同起点，指向被减向量，即AB−AC=CB;坐标公式：若a=(x,y)，b=(x′,y′)，则a−b=(x−x′,y−y′)。小例题：已知a=(5.4)，b=(2.1)，则a−b=(5−2.4−1)=(3.3)。

　　3、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，模长公式：∣λa∣=∣λ∣⋅∣a∣。方向判定：当>时，λa与a同方向;当<时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0.方向任意;当a=0时，对任意实数λ，都有λa=0.注：若λa=0.则λ=0或a=0.几何意义：将表示向量a的有向线段伸长或压缩，>时伸长为原来的∣λ∣倍，<时缩短为原来的∣λ∣倍。小例题：已知∣a∣=3.λ=2.则∣2a∣=2×3=6.2a与a同方向。运算律：结合律：(λa)⋅b=λ(a⋅b)=(a⋅λb);第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;第二分配律：λ(a+b)=λa+λb;消去律：①λ=0且λa=λb，则a=b;②a=0且λa=μa，则λ=μ。

　　4、向量的数量积

　　又称内积、点积，结果为数量，记作a⋅b。夹角定义：作OA=a，OB=b，则∠AOB为向量a、b的夹角，记作⟨a,b⟩，且0≤⟨a,b⟩≤π。核心公式：不共线时：a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos⟨a,b⟩;共线时：a⋅b=±∣a∣∣b∣;坐标公式：若a=(x,y)，b=(x′,y′)，则a⋅b=xx′+yy′。运算律：交换律a⋅b=b⋅a;结合律(λa)⋅b=λ(a⋅b);分配律(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c。性质：a⋅a=∣a∣2;;∣a⋅b∣≤∣a∣⋅∣b∣(证明：∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣⋅∣cosα∣，0≤∣cosα∣≤1)。注：数量积不满足结合律和消去律，且∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣，∣a∣=∣b∣推不出a=b或a=−b。

　　5、向量的向量积

　　又称外积、叉积，结果为向量，记作a×b(非乘号，也可记a∧b)。核心公式：不共线时：∣a×b∣=∣a∣⋅∣b∣⋅sin⟨a,b⟩;共线时：a×b=0.方向判定：垂直于a和b，且a、b、a×b按次序构成右手系。几何性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积;核心性质：a×a=0;。运算律：反交换律a×b=−b×a;结合律(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);分配律a×(b+c)=a×b+a×c。注：向量无除法，CDAB无数学意义。

　　6、三向量的混合积

　　给定空间三向量a、b、c，先作a、b的向量积a×b，再与向量c作数量积(a×b)⋅c，所得的数称为三向量a、b、c的混合积。记法：记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)⋅c。

　　相关信息仅供参考。