平行线分线段成比例定理（含推论 + 例题）| 初中数学核心知识点

　　一、平行线分线段成比例定理和推论

　　1、比例线段

　　在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

　　已知四条线段 a、b、c、d，如果 a/b = c/d，那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项。线段 a、d 叫做比例外项，线段 b、c 叫做比例内项。

　　注意：判断四条线段是否成比例，需先统一所有线段的单位，再按长度大小排序后验证比例关系，避免因单位不统一导致判断错误。

　　2、比例的基本性质

　　如果 a∶b = c∶d 或 a/b = c/d，那么 ad = bc，即比例的内项之积与外项之积相等;反之，如果 ad = bc，那么 a∶b = c∶d 或 a/b = c/d(bd≠0)。

　　根据比例的基本性质，由 ad = bc 还可以推出如下比例式(abcd≠0)：

　　① d/b = c/a;

　　② a/c = b/d;

　　③ d/c = b/a。

　　这些变形比例式常用于线段长度的计算或比例关系的转化，是几何证明和计算的基础工具。

　　3、平行线分线段成比例定理

　　(1)定理

　　两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

　　例如，设三条平行线 l₁∥l₂∥l₃，分别交直线 m 于点 A、B、C，交直线 n 于点 D、E、F，则对应线段满足 AB/BC = DE/EF、AB/AC = DE/DF、BC/AC = EF/DF 等比例关系。

　　(2)推论

　　平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

　　如：在△ABC 中，AB 边上有一点 D，AC 边上有一点 E，且 DE∥BC，则有 AD/AB = AE/AC，AD/DB = AE/EC，DB/AB = EC/AC。

　　该推论是定理在三角形中的特殊应用，也是后续证明三角形相似的重要铺垫。

　　二、平行线分线段成比例定理的相关例题

　　给出下列各组线段(单位已标注，未统一的需先换算)，其中成比例线段的是___

　　A.2cm，3cm，4cm，6cmB.1cm，√2 cm，√3 cm，√6 cmC.0.2m，0.4m，0.5cm，1cmD.3cm，5cm，7cm，9cm

　　答案：AB

　　解析：

　　先统一所有线段单位：C 选项中 0.2m=20cm，0.4m=40cm，排序后为 0.5cm、1cm、20cm、40cm，验证 0.5×40≠1×20.故 C 错误;

　　A 选项排序后为 2cm、3cm、4cm、6cm，计算外项之积 2×6=12.内项之积 3×4=12.满足比例关系，故 A 正确;

　　B 选项排序后为 1cm、√2 cm、√3 cm、√6 cm，外项之积 1×√6=√6.内项之积√2×√3=√6.满足比例关系，故 B 正确;

　　D 选项排序后为 3cm、5cm、7cm、9cm，外项之积 3×9=27.内项之积 5×7=35.27≠35.故 D 错误。

　　综上，答案选 AB。