一文搞懂充分不必要条件：定义、传递性、例题解析（高中数学必看）

　　一、充分不必要条件的定义和判定方法

　　充分不必要条件是高中数学逻辑推理板块的核心知识点，也是高考常考考点，掌握其定义、传递性及判定方法对解题至关重要。

　　1、定义

　　(1)充分不必要条件：一般地，如果有 p⇒q 且 q⇏p，此时我们说 p 是 q 的充分不必要条件。也就是说 p 成立能完全保证 q 成立，但 q 成立时 p 未必成立，p 是 q 的 “充分但非必需” 条件。(2)必要不充分条件：一般地，如果有 p⇏q 且 q⇒p，此时我们说 p 是 q 的必要不充分条件。即 q 成立必须依赖 p 成立，但 p 成立不足以推出 q 成立，p 是 q 的 “必需但非充分” 条件。(3)充要条件：一般地，如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q。此时我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件。显然，如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件，概括地说，如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充要条件，二者成立与否完全等价。

　　2、充分条件与必要条件的传递性

　　充分、必要条件的传递性是逻辑推理中简化判断的重要依据，可结合具体场景理解：(1)若 p 是 q 的充分条件，q 是 s 的充分条件，即 p⇒q，q⇒s，则有 p⇒s，即 p 是 s 的充分条件。例如 p：x>3.q：x>2.s：x>1.由 x>3 可推 x>2.再推 x>1.故 x>3 是 x>1 的充分条件。(2)若 p 是 q 的必要条件，q 是 s 的必要条件，即 q⇒p，s⇒q，则有 s⇒p，即 p 是 s 的必要条件。例如 p：x 是整数，q：x 是偶数，s：x 是 4 的倍数，由 x 是 4 的倍数可推 x 是偶数，再推 x 是整数，故 x 是整数是 x 是 4 的倍数的必要条件。(3)若 p 是 q 的充要条件，q 是 s 的充要条件，即 p⇔q，q⇔s，则 p⇔s，即 p 是 s 的充要条件。二者的等价关系可通过中间条件完全传递。

　　3、充分、必要条件的判定方法

　　(1)定义法① 明确判断对象，认清哪个命题是 p(条件)，哪个命题是 q(结论);② 分析推式关系，判断是否存在 “p⇒q” 和 “q⇒p” 两种情况;③ 根据推式结果下结论，结合定义确定 p 与 q 的条件关系。

　　(2)集合法写出集合 A={x|p (x)}(所有满足条件 p 的元素构成的集合)及 B={x|q (x)}(所有满足条件 q 的元素构成的集合)，利用集合间的包含关系判断：

　　若 A 是 B 的真子集(A⊂B 且 A≠B)，则 p 是 q 的充分不必要条件;

　　若 B 是 A 的真子集(B⊂A 且 B≠A)，则 p 是 q 的必要不充分条件;

　　若 A=B，则 p 是 q 的充要条件。

　　(3)用命题的等价性判断利用 “p⇒q 与 ¬q⇒¬p 等价”“q⇒p 与 ¬p⇒¬q 等价”“p⇔q 与 ¬p⇔¬q 等价” 的规律判断。对于条件或结论是否定形式的命题，直接判断推式较复杂，运用等价法可简化思路，逆否命题同真同假的性质能规避否定形式的干扰。

　　(4)利用传递性判断对于较复杂的链式关系(如多个命题串联)，常利用⇒、⇐、⇔、⇏等符号梳理传递路径，根据符号组成的图示可快速得出最终的条件关系，无需逐一验证每两个命题的推式。

　　二、充分不必要条件的相关例题

　　设 p：四边形是正方形，q：四边形是矩形，则 p 是 q 成立的___A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

　　答案：A

　　解析：首先明确 q 的等价条件，矩形的定义是 “四个角为直角的四边形”，因此 q：四边形是矩形⇔四边形四个角为直角。而 p：四边形是正方形，正方形满足 “四个角为直角且四条边相等”，因此若四边形是正方形(p 成立)，则必然满足矩形的定义(q 成立)，即 p⇒q;反之，若四边形是矩形(q 成立)，可能是长和宽不相等的长方形，不一定是正方形(p 不一定成立)，即 q⇏p。综上，p 能推出 q 但 q 不能推出 p，故 p 是 q 成立的充分不必要条件。