一元二次不等式详解：定义、解题步骤 + 典型例题

　　一、一元二次不等式的定义和解法

　　1、一元二次不等式的定义

　　我们把只含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2.同时二次项系数不为 0的不等式，称为一元二次不等式。其一般形式可表示为：\(ax^2 + bx + c > 0\)(或\(\geq 0\)、\(< 0\)、\(\leq 0\))，其中a、b、c为常数，且\(a \neq 0\)。

　　2、解一元二次不等式的一般步骤

　　解一元二次不等式的核心是结合一元二次方程的根和二次函数的图象，按以下 4 步规范求解：(1)标准化变形：通过移项、合并同类项，使不等式一端为 0.且保证二次项系数\(a > 0\);若\(a < 0\)，需在不等式两边同乘\(-1\)，同时注意不等号方向要反向。(2)计算判别式：求出对应一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)的判别式\(\Delta = b^2 - 4ac\)，判别式的符号将直接决定方程根的情况。(3)求解对应方程的根：当\(\Delta \geq 0\)时，方程有实根，可通过因式分解法、求根公式法(\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\))求出根\(x_1\)、\(x_2\)(约定\(x_1 \leq x_2\));当\(\Delta < 0\)时，方程无实根。(4)结合图象写解集：根据二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)(\(a > 0\)时图象开口向上)的图象特征，结合根的情况直接写出不等式的解集。

　　3、二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)(\(a > 0\))对应的不等式解集

　　结合二次函数的开口方向和方程根的情况，一元二次不等式的解集可总结如下：

　　当\(\Delta > 0\)时：方程\(ax^2 + bx + c = 0\)有两个不相等的实根\(x_1\)、\(x_2\)(\(x_1 < x_2\))，此时不等式\(ax^2 + bx + c > 0\)的解集为\(\{x | x < x_1\) 或 \(x > x_2\}\);\(ax^2 + bx + c < 0\)的解集为\(\{x | x_1 < x < x_2\}\)。

　　当\(\Delta = 0\)时：方程\(ax^2 + bx + c = 0\)有两个相等的实根\(x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}\)，此时不等式\(ax^2 + bx + c > 0\)的解集为\(\{x | x \neq -\frac{b}{2a}\}\);\(ax^2 + bx + c < 0\)的解集为\(\emptyset\)(空集)。

　　当\(\Delta < 0\)时：方程\(ax^2 + bx + c = 0\)无实根，此时不等式\(ax^2 + bx + c > 0\)的解集为R(全体实数);\(ax^2 + bx + c < 0\)的解集为\(\emptyset\)(空集)。

　　提示：若\(a < 0\)，需先将二次项系数化为正数，再按上述规则求解，避免因开口方向错误导致解集出错。

　　二、一元二次不等式解法的相关例题

　　解一元二次不等式\(2x^2 - 5x + 2 > 0\)，其解集为( )A. \(\{x | \frac{1}{2} < x < 2\}\)B. \(\{x | x < \frac{1}{2}\) 或 \(x > 2\}\)C. \(\{x | x \neq \frac{5}{4}\}\)D. R(全体实数)

　　答案：B

　　解析：按照一元二次不等式的求解步骤逐步分析：

　　标准化变形：原不等式已满足 “一端为 0 且二次项系数\(a = 2 > 0\)”，无需额外变形;

　　计算判别式：\(\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 > 0\)，方程有两个不相等的实根;

　　求解对应方程的根：用因式分解法将方程\(2x^2 - 5x + 2 = 0\)化为\((2x - 1)(x - 2) = 0\)，解得\(x_1 = \frac{1}{2}\)，\(x_2 = 2\)(满足\(x_1 < x_2\));

　　结合图象写解集：因\(a = 2 > 0\)，二次函数图象开口向上，故\(2x^2 - 5x + 2 > 0\)的解集为 “\(x < x_1\) 或 \(x > x_2\)”，即\(\{x | x < \frac{1}{2}\) 或 \(x > 2\}\)。故选 B。