伴随矩阵特征值的推导逻辑、拓展结论及实例解析

　　矩阵的行列式等于其所有特征值之积，这是矩阵的基本性质之一。特征值可衡量矩阵的重要性、描述其核心性质，广泛应用于矩阵分解、矩阵相似、矩阵求逆等计算中。伴随矩阵的特征值作为矩阵特征值的延伸，在解决线性方程组等实际问题中发挥着重要作用。

　　伴随矩阵的特征值

　　一、伴随矩阵特征值的推导方式

　　若λ是矩阵A的一个特征值，|A|为A的行列式，则伴随矩阵A*的特征值为|A|/λ。若0是矩阵A的一个特征值，则0也是A*的一个特征值;若k是矩阵A的非零特征值，存在非零向量x，使得A*x=(|A|/k)x，因此|A|/k是A*的一个特征值。

　　伴随矩阵与原矩阵的逆矩阵关系，也影响着特征值计算。若A可逆，则A的逆矩阵的特征值是A对应特征值的倒数，结合A*=|A|A⁻¹，可进一步验证A*的特征值为|A|除以A的任一特征值。伴随矩阵的特征向量可由原矩阵的特征向量推导得出，即原矩阵特征向量乘以(行列式除以对应特征值)。

　　例题：设二阶矩阵A=[[2.1],[1.2]]，求A的特征值及对应A*的特征值。解：A的特征多项式为|λE-A|=(λ-2)²-1=λ²-4λ+3.解得特征值λ₁=1.λ₂=3;A的行列式|A|=3.故A*的特征值分别为|A|/λ₁=3.|A|/λ₂=1.

　　二、伴随矩阵特征值拓展

　　1. 一阶矩阵的伴随矩阵无定义。因一阶矩阵(1.1)位置元素的余子式为空矩阵，空矩阵的行列式无法定义，故一阶矩阵不存在伴随矩阵及对应特征值讨论。

　　2. 伴随矩阵与原矩阵特征值的深层关联：由矩阵恒等式A·A*=|A|·E(E为单位矩阵)分类讨论。当A可逆时，两边同乘A⁻¹，结合A⁻¹的特征值是A对应特征值的倒数，可得A*=|A|A⁻¹，故A*的特征值为|A|除以A的任一特征值;当A的秩为n-1(n为矩阵阶数)时，A*的秩为1.此时A*有n-1重0特征值，剩余1个非零特征值可通过矩阵迹的性质计算;当A的秩小于n-1时，A*为零矩阵，其所有特征值均为0.

　　3. 补充验证：若0是A的特征值，则A不可逆(行列式|A|=0)，代入恒等式A·A*=0·E=O(零矩阵)，可知A*的列向量均为齐次线性方程组Ax=0的解，因A有零特征值时秩小于n，故A*的秩≤1.必存在零特征值，即0也是A*的特征值;若k是A的非零特征值，存在非零向量α满足Aα=kα，两边同乘A*得A*Aα=kA*α，结合A*A=|A|E，得|A|α=kA*α，整理得A*α=(|A|/k)α，故|A|/k是A*的特征值。

　　相关信息仅供参考。