等比数列全解析：定义、通项公式、性质及典型例题详解

　　一、等比数列的定义和通项公式

　　1、等比数列的定义

　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即$\frac{a_n}{a_{n-1}} = q \ (n \geqslant 2)$。

　　(1)等比数列中任意一项均不为0.且公比q≠0(若q=0.则后续项会为0.与等比数列定义矛盾)。

　　(2)若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列。例如：0.0.0.0.⋯，因各项为0.无法满足“每一项与前一项的比为常数(分母为0无意义)”，故不是等比数列。

　　2、等比数列的通项公式

　　(1)通项公式

　　若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为q，则这个等比数列的通项公式是$a_n = a_1 q^{n-1} \ (a_1. q \neq 0)$。

　　在记忆公式时，要注意q的指数比项数n小1这一核心特点，可通过简单数列验证(如首项为2、公比为3的数列，第3项为$2×3^{2}=18$，符合公式规律)。

　　注：由$a_n = a_1 q^{n-1}$，$a_m = a_1 q^{m-1}$，两式相除可推出$\frac{a_n}{a_m} = q^{n-m}$，即$a_n = a_m q^{n-m}$。

　　基于此推导式，有两个重要应用：① 在已知等比数列$\{a_n\}$中任一项$a_m$及公比q的前提下，可直接用$a_n = a_m q^{n-m}$求得数列中任意项$a_n$，无需先求首项$a_1$;② 已知等比数列$\{a_n\}$中的$a_m$和$a_n$两项，可通过$\frac{a_n}{a_m} = q^{n-m}$求出公比q。

　　(2)等比数列中项的正负

　　对于等比数列$\{a_n\}$，项的正负由公比q的符号决定：若q<0.则数列中正负项间隔出现(如数列1.-2.4.-8.16.⋯);若q>0.则数列各项同号(如q=2、首项为3的数列3.6.12.⋯，各项均为正)。综上，等比数列的奇数项必同号，偶数项也必同号。

　　3、等比中项

　　如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

　　若G是a与b的等比中项，则$\frac{G}{a} = \frac{b}{G}$，交叉相乘可得$G^2 = ab$，即$G = \pm \sqrt{ab}$。

　　重要提醒：① 任意两个数都有唯一的等差中项，但不一定有等比中项;只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项(若两数异号，$ab<0$，$\sqrt{ab}$无实数意义)。② 两个数a，b的等差中项只有一个，而两个同号且不为0的数的等比中项有两个，且这两个等比中项互为相反数(如2和8的等比中项为4和-4)。

　　注：(1)只有非零同号的两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数。(2)在等比数列$\{a_n\}$中，从第2项起，每一项(有穷等比数列末项除外)是前一项与后一项的等比中项，即$a_n^2 = a_{n+1}a_{n-1} \ (n \geqslant 2.n \in \mathbf{N}^*)$。

　　4、等比数列与函数的关系

　　等比数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n = a_1 q^{n-1} \ (a_1. q \neq 0)$可改写为$a_n = \frac{a_1}{q} \cdot q^n$。当q>0且q≠1时，等比数列$\{a_n\}$的图象是指数型函数$y = \frac{a_1}{q} \cdot q^x$的图象上一些孤立的点(因n为正整数)。

　　结合函数单调性，可判断等比数列的增减性：

　　(1)当$\begin{cases}a_1>0. \\ q>1\end{cases}$或$\begin{cases}a_1<0. \\ 0<q<1\end{cases}$时，等比数列$\{a_n\}$为递增数列;< p="">

　　(2)当$\begin{cases}a_1>0. \\ 0<q<1\end{cases}$或$\begin{cases}a_1<0.>1\end{cases}$时，等比数列$\{a_n\}$为递减数列;

　　(3)当q=1时，等比数列$\{a_n\}$为常数列(此常数列各项均不为0.如5.5.5.⋯);

　　(4)当q<0时，等比数列$\{a_n\}$为摆动数列(所有奇数项同号，所有偶数项同号，且奇数项与偶数项异号，如3.-6.12.-24.⋯)。

　　5、等比数列的性质

　　设$\{a_n\}$是公比为q的等比数列，则有以下性质：

　　(1)若数列$\{a_n\}$是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即$a_1a_n = a_2a_{n-1} = a_3a_{n-2} = \cdots = a_m a_{n-m+1}$。

　　(2)若m，n，p($m,n,p \in \mathbf{N}^*$)成等差数列，则$a_m$，$a_n$，$a_p$成等比数列，即$a_n^2 = a_m a_p$。

　　(3)若$m + n = p + q \ (m,n,p,q \in \mathbf{N}^*)$，则$a_m a_n = a_p a_q$。特别地，若$m + n = 2p$，则$a_m a_n = a_p^2$(此为性质(2)的特殊情况)。

　　(4)衍生等比数列：① 数列$\lambda a_n$(λ为不等于0的常数)仍是公比为q的等比数列;② 数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是公比为$\frac{1}{q}$的等比数列;③ 数列$\{|a_n|\}$是公比为$|q|$的等比数列;④ 若数列$\{b_n\}$是公比为$q'$的等比数列，则数列$\{a_n \cdot b_n\}$是公比为$q \cdot q'$的等比数列。

　　(5)当数列$\{a_n\}$是各项都为正数的等比数列时，数列$\{\lg a_n\}$是公差为$\lg q$的等差数列(利用对数运算法则$\lg a_n - \lg a_{n-1} = \lg \frac{a_n}{a_{n-1}} = \lg q$可证)。

　　(6)连续相邻k项的和或积的性质：数列中连续相邻k项的和(若和不为0)构成公比为$q^k$的等比数列;连续相邻k项的积构成公比为$q^{k^2}$的等比数列。

　　(7)间隔取项性质：在数列$\{a_n\}$中，每隔k($k \in \mathbf{N}^*$)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为$q^{k+1}$(如每隔1项取一项，即取$a_1.a_3.a_5.\cdots$，公比为$q^2$)。

　　二、等比数列的相关例题

　　例题1：求等比数列的公比

　　已知等比数列$\{a_n\}$满足：$a_2 = 4$，$a_5 = \frac{1}{2}$，则公比q = ( )

　　A.$-\frac{1}{2}$ B.$\frac{1}{2}$ C.-2 D.2

　　答案：B

　　解析：∵ 数列$\{a_n\}$是等比数列，由等比数列通项公式的衍生式$a_n = a_m q^{n - m}$，可得$a_5 = a_2 q^{5 - 2} = a_2 q^3$。将$a_2 = 4$，$a_5 = \frac{1}{2}$代入，得$4q^3 = \frac{1}{2}$，即$q^3 = \frac{1}{8}$，解得$q = \frac{1}{2}$，故选B。

　　例题2：求等比中项

　　若2与x的等比中项为±4.求x的值。

　　答案：x = 8

　　解析：由等比中项的定义可知，若G是a与b的等比中项，则$G^2 = ab$。已知2与x的等比中项为±4.因此$(\pm 4)^2 = 2x$，即16 = 2x，解得x = 8.

　　相关信息仅供参考