arctanx 的导数推导及应用 详解 tanx 与 arctanx 的核心区别

　　arctanx 的导数及相关性质详解

　　arctanx 的导数为 1/(1+x²)。arctanx 是反正切函数的简写，其值域为 (-90°,90°)，即弧度制的 (-π/2.π/2)，对应平面直角坐标系中第一象限和第四象限的角度。arctanx 的计算方法包括使用计算器、反正切表和泰勒级数，应用广泛，可解决与角度、斜率和三角函数相关的数学问题。使用时的注意事项包括关注函数的值域范围和计算过程中的误差，采用高精度计算方法能有效减少误差。

　　arctanx 的导数是什么 等于什么

　　1 arctanx 的导数

　　arctanx 的导数为 1/(1+x²)。具体求导推导过程：令 y=arctanx，则 x=tany。对等式 x=tany 两边同时对 x 求导，可得(x)'=(tany)'，即 1=sec²y・(y)'，因此(y)'=1/sec²y。又因为 tany=x，根据三角恒等式 sec²y=1+tan²y，可推出 sec²y=1+x²，最终得(y)'=1/(1+x²)。

　　【小例题】求函数 y=arctan2x 的导数解：由复合函数求导法则，y’=1/[1+(2x)²]・(2x)’=2/(1+4x²)。

　　导数的基本公式：C'=0(C 为常数)、(x^n)'=nx^(n-1)、(sinx)'=cosx、(cosx)'=-sinx、(tanx)'=sec²x、(secx)'=tanxsecx

　　导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

　　导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

　　2 arctanx 的导数补充推导与 tanx 的区别

　　arctanx 的导数为 1/(1+x²)，以下是微分法的补充推导过程：设 x=tant，则 t=arctanx，对等式两边求微分，可得 dx=[(cos²t+sin²t)/cos²t] dt，由三角恒等式 cos²t+sin²t=1.化简得 dx=(1/cos²t) dt，变形后得 dt/dx=cos²t。结合三角恒等式，dt/dx=1/(1+tan²t)，又因为 x=tant，因此可推出 t'=1/(1+x²)。

　　tanx 是正切函数，其定义域是 {x|x≠(π/2)+kπ，k∈Z}，值域是 R;arctanx 是反正切函数，其定义域是 R，值域为 (-π/2.π/2)。

　　tanx 与 arctanx 的具体区别：

　　两者的定义域不同(1)tanx 的定义域为 {x|x≠(π/2)+kπ，其中 k 为整数}。(2)arctanx 的定义域为 R，即全体实数。

　　两者的值域不同(1)tanx 的值域为 R，即全体实数。(2)arctanx 的值域为 (-π/2.π/2)。

　　两者的周期性不同(1)tanx 为周期函数，最小正周期为 π。(2)arctanx 不是周期函数。

　　两者的单调区间不同(1)tanx 的单调增区间为 (-π/2+kπ，π/2+kπ)，k 为整数。(2)arctanx 为单调增函数，单调增区间为(-∞，﹢∞)。

　　相关信息仅供参考。